五年级：有人说超纲，有人说缺少条件！不使用三角形全等咋求解？

有人说此题超纲，有人说此题缺少条件或条件不够（比如点E在对角线BD上）！不使用初中知识三角形全等，能否求解？如何求解？

这是一道小学五年级数学竞赛题：难度非常大，班上几乎全军覆没！如图一，

图一

三个边长未知正方形放在一起，红色正方形面积为6，求绿色正方形面积。

大多数孩子甚至不少大人，看到题目就傻眼了，完全不知从何入手！

有些几何直观能力较强的孩子，或一眼就可看出AE=CE（即绿色正方形对角线长等于红色正方形边长），但如何说明或证明它、即便对初中生来说、难度也很大，更不用说小学五年级孩子了！

有人说，连接BD（如图二），则显然点E在BD上，依据对称性即可推出AE=CE！

也有人说，连接AE，则显然△AEF为等腰三角形(即AE=EF）！

但“点E在BD上”及“△AEF为等腰三角形”均非显然！

———————————————

提示一：三角形全等！适合初中生

①如图二，易知△AGM≌△AHF(因为∠FAH=∠MAG，AH=AG，∠AGM=∠AHF=90°)，故AM=AF，从而BM=DF。

图二

②连接CF，如图三

图三

则△BCM≌△CDF(因为BM=DF，∠MBC=∠FDC=90°，BC=CD)，从而CM=CF（也可由勾股定理直接推出）。

③连接AC，如图四，

图四

则△ACM≌△ACF(因为AM=AF，AC=AC，CM=CF)，从而∠ACE=∠ACF。

④注意到AE⫽CF（其分别为绿色、红色正方形对角线)，故∠EAC=∠ACF=∠ACE，故AEC为等腰三角形，也即AE=CE，从而E在BD上。

⑤绿色正方形可分成2个斜边为AE的等腰直角三角形、红色正方形可分成4个以CE为斜边的等腰直角三角形，故S绿正=1/2S红正=3。

对小学生来说，由于没学三角形全等，需规避使用它，只能寻求图形旋转、图形翻折、图形平移等方法来替代三角形全等！

提示二：图形旋转+图形翻折（或轴对称性）！适合小学生

①将△AHF绕点A顺时针旋转90°至AH与AG重合，则AF与AM重合即AF=AM，从而BM=DF。

②连接AC，将△ACD沿AC翻折至与ACB重合，由对称性（对称轴为AC）及BM=DF可知CM与CF重合即CM=CF且∠ACE=∠ACF。再由AE⫽CF即知

∠EAC=∠ACF=∠ACE，也即AE=CE、点E必在BD上。余下同于提示一！

—————————————

友友们，怎么看？欢迎留言分享！